05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 11 февраля 2011 г. № 35
 

Ключевые слова

АЛГОРИТМ, ИНФОРМАТИКА, КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ, КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, МОДЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ, ПРИКЛАДНЫЕ ПРОГРАММЫ, СЛОЖНАЯ СИСТЕМА, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Задачи программы-минимум

Задачами программы-минимум являются:

  • определение общих требований к знаниям, умениям и навыкам соискателя ученой степени кандидата наук в области математического моделирования, численных методов и комплексов программ;
  • определить состав тем, охват которых обеспечивает требуемую компетенцию соискателя;
  • определить содержание каждой темы;
  • привести список литературы, достаточный для освоения тем в нужном объеме.

I. Общие методические рекомендации

Целью программы-минимума является контроль качества современных знаний по теории математического моделирования на ЭВМ, применению эффективных численных методов решения задач и технологии разработки и эксплуатации комплексов программ соискателей ученой степени кандидата технических наук и кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Овладение материалом, излагаемым в программе, должно обеспечить возможность самостоятельного исследования сложных систем на современном уровне.

Круг знаний определяется тремя направлениями: теория и практика математического моделирования сложных систем; численные методы решения для тех математических задач, которые не имеют аналитических решений технология разработки, апробации и эксплуатации комплексов программ с использованием современной вычислительной техники и информатики.

Способ изучения дисциплины: предполагается наличие базового университетского образования, и затем самостоятельная подготовка соискателей согласно списку основной и дополнительной литературы.

II. Тематический план

1. Теория математического моделирования сложных процессов и систем

1.1.Основные определения и понятия теории математического моделирования

1.2.Технология математического моделирования

1.3.Технические средства построения и исследования моделей

1.4.Основы теории планирования модельного эксперимента на ЭВМ

1.5.Основы теории обработки результатов моделирования

2. Численные методы

2.1.Методы решения систем алгебраических уравнений

2.2.Методы решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ)

2.3.Решение ДУ в частных производных

2.4.Методы отображения и визуализации многомерных данных

3. Технология разработки, испытания и эксплуатации комплексов программ

3.1.Принципы построения систем управления базами данных (СУБД)

3.2.Прикладное программное обеспечение научных исследований

3.3.Технология разработки комплексов прикладных программ

3.4.Программное обеспечение аналого-цифровых, графических дисплеев и средств машинной графики

3.5.Достоинства и недостатки использования проблемно-ориентированных языков моделирования

III. Содержание курса

1. Теория математического моделирования сложных процессов и систем

1.1. Основные определения и понятия теории математического моделирования

Основные виды научных исследований. Системный подход в научных исследованиях.

Определение понятия «модель». Функции моделей при проведении научных исследований. Особенности и области применения абстрактного (идеального), математического, машинного, натурного и лабораторного моделирования. Аналоговые модели.

Критерии истинности модели. Основы теории подобия и верификации моделей.

1.2. Технология математического моделирования

Основные этапы математического моделирования. Предварительное исследование моделируемого объекта. Постановка задачи и определение типа модели. Требования к модели. Построение математической, алгоритмической и компьютерной модели исследуемой системы. Тестирование.

1.3. Технические средства построения и исследования моделей

Технические средства построения и исследования моделей. Особенности применения ЭВМ при постановке и проведении моделирования. Особенности гибридного моделирования сложных динамических объектов. Программные средства для моделирования динамических систем.

1.4. Основы теории планирования модельного эксперимента на ЭВМ

Научный, инженерный и промышленный эксперимент, как средство построения или уточнения математической модели исследуемого объекта или явления. Типовая схема экспериментальных исследований. Типовые задачи исследования.

Цели и методы планирования эксперимента: формулировка проблемы, классификация методов. Планирование регрессионных экспериментов, критерии оптимальности регрессионных планов. Планы 1-го и 2-го порядков. Последовательные методы планирования эксперимента. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Задачи и планирование эксперимента при исследовании динамических объектов. Однокритериальная и многокритериальная оптимизация.

1.5. Основы теории обработки результатов моделирования

Основные характеристики и особенности массивов информации в научных исследованиях. Размерность, качественные и количественные признаки, способы представления, механизмы и модели порождения данных, общая схема и основные этапы анализа данных.

Задача статистического оценивания параметров. Свойства статистических оценок. Методы статистического оценивания. Использование априорной информации (байесовский подход).

Статистическая проверка гипотез. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных. Общая схема статистического критерия. Построение статистического критерия, принцип отношения правдоподобия. Характеристики качества статистического критерия. Последовательная схема принятия решения.

Методы структуризации данных. Задача классификации, механизмы порождения классификаций. Задача классификации объектов с «учителем», различные модели распознавания образов. Задача автоматической классификации (кластер-анализ), вариационный и статистический подходы, основные типы алгоритмов, проблема выбора числа классов.

Методы структуризации параметров. Модели и методы факторного анализа, алгоритмы экспериментальной группировки, выбор числа групп, нелинейные модели, особенности методов структуризации качественных признаков.

Регрессионные линейные и нелинейные  модели. Методы кусочной аппроксимации зависимостей. Структурные регрессионные уравнения.

2. Численные методы

2.1. Методы решения систем алгебраических уравнений

Интерполяция сплайнами. Погрешность приближения функции сплайнами. Равномерные приближения функций.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) точными методами. Метод Гаусса и его модификации. Основы разложения матрицы на треугольные множители. Метод квадратного корня. Метод Холецкого. Метод вращений. Метод отражений. Метод ортогонализации. Обращение матриц. Итерационные методы. Необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса. Метод Зейделя. Метод релаксации. Упорядочение итерационных параметров. Итерационные методы вариационного типа. Метод сопряженных градиентов.

Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона. Метод скорейшего спуска.

Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. Методы Крылова и Данилевского. Метод вращений Якоби.

Интерполяция и численное интегрирование. Методы наилучшего приближения. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Численная интерполяция: методы Лагранжа и Ньютона. Численное дифференцирование и интегрирование. Формулы Ньютона-Котеса. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

2.2. Методы решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ)

Приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитические и численные методы. Метод рядов. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса. Аппроксимация задачи Коши для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Метод конечных разностей решения краевых задач. Метод аппроксимации краевых условий. Разностная схема. Методы прогонки.

2.3. Решение ДУ в частных производных

Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Начальные и краевые условия. Методы аппроксимаций. Разностная формула Грина. Метод сеток. Принцип максимума. Разностная схема с весами. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа. Погрешность аппроксимации краевых и начальных условий. Метод факторизации. Метод переменных направлений. Метод суммарной аппроксимации.

2.4. Математическое программирование

Задача линейного программирования. Графическое решение. Симплекс-метод. Двойственность. Транспортная оптимизация.

Нелинейное программирование. Теорема Куна-Такера. Целочисленное программирование. Булево программирование.

2.5. Методы решения ком6инаторных задач.

Перечислительная комбинаторика. Перестановки. Размещения. Сочетания. Вычислительная сложность алгоритмов. Задачи полиномиально разрешимые и NP-трудные задачи.

Дерево поиска решений. Метод ветвей и границ. Стратегии обхода: поиск в ширину и поиск в глубину. Правила ветвления, возврата и завершения поиска. Методы поиска решения: точные, приближенные, эвристические.

Метод динамического программирования.

2.6. Алгоритмы на графах.

Определения графа, ориентированного графа (орграфа), смешанного графа. Способы представления графа. Связность. Отношение изоморфизма. Циклы и разрезы. Раскраски графов. Планарные графы, проблема четырех красок. Эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы.

Экстремальные задачи на графах, орграфах, смешанных графах. Транспортная задача. Кратчайшие пути в орграфе. Задача о максимальном потоке в сети.

Методы сетевого планирования и управления. Методы и модели календарного планирования.

2.7. Игры с непротиворечивыми интересами.

Обмен информацией и расширение понятия стратегии. Принцип гарантированного результата при обмене информацией в играх с фиксированным порядком принятия решений. Ситуация равновесия. Игры с запрещенными ситуациями.

2.8. Методы отображения и визуализации многомерных данных

Методы отображения и визуализации многомерных данных, методы и модели многомерного шкалирования, особенности использования алгоритмов для различных типов данных, связь методов многомерного шкалирования и методов классификации.

Методы аппроксимации сложных зависимостей, построение прогностических и нормативных моделей. Методы структурной минимизации эмпирического риска в задаче аппроксимации зависимостей.

Методы анализа экспериментальных кривых. Специфика проблемы и основные подходы к ее решению. Сегментация кривых. Машинные методы построения языка для качественного описания кривых.

Автоматическая обработка изображений. Изображение как особый тип массовых эмпирических данных.

Методы первичной обработки данных. Шкалы измерений. Унифицированное представление разнотипных данных. Методы восстановления пропущенных наблюдений. Анализ резко выделяющихся наблюдений. Погрешности дискретизации и квантования в задачах интерполяции сигналов, статистической обработки данных. Сжатие данных.

3. Технология разработки, испытания и эксплуатации комплексов программ

3.1. Принципы построения систем управления базами данных (СУБД)

Основные направления развития ЭВМ и их классификация. Микропроцессоры и микро-ЭВМ. Перспективы развития ЭВМ. Периферийное оборудование ЭВМ и его использование.

Типовые проблемно-ориентированные измерительно-вычислительные комплексы. Локальные вычислительные сети. Программные средства для работы в сети.

Особенности моделирования на ЭВМ с многопроцессорной архитектурой и ЭВМ с параллельными процессорами. Требования к аппаратным и программным средствам ЭВМ с точки зрения их использования при проведении полунатурного и машинного моделирования. Особенности постановки и проведения машинных и полунатурных исследований моделей сложных систем на многопроцессорных и многомашинных вычислительных комплексах.

Основные функции, выполняемые программным обеспечением (ПО) научных исследований. Требования, предъявляемые к ПО со стороны исследователей в период разработки программ. Динамика изменения затрат на разработку различных классов программ. Методы решения проблемы снижения трудоемкости разработки и сопровождения программ.

Операционные системы: назначение, выполняемые функции. Классификация ОС по алгоритмам управления: 1) одно- и много пользовательские; 2) одно- и много задачные; 3) одно- и много процессорные. Принципы управления сетью ЭВМ. Средства программирования, обеспечивающие управление обменом информацией с объектом исследования.

Программные средства для компьютерного моделирования.

Программное обеспечение информационных систем. Базы данных и их реализация. Основные модели данных. Принципы построения систем управления базами данных (СУБД). Организация диалогового процесса с СУБД при проведении научных исследований.

3.2. Прикладное программное обеспечение научных исследований

Прикладное программное обеспечение научных исследований. Формы представления комплексов прикладных программ: библиотека, пакет прикладных программ (ППП), диалоговая система. Примеры библиотек и ППП общематематического назначения. Процедурные и непроцедурные входные языки для записи заданий для расчетов с помощью ППП. Архитектура ППП и процесс обработки входного задания. Архитектура диалоговой системы. Способы организации диалогового процесса исследований.

Экспертные системы. Программная реализация экспертных систем.

Нейросетевое моделирование сложных процессов.

3.3. Технология разработки комплексов прикладных программ

Технология разработки комплексов прикладных программ. Структурное проектирование программ. Применение инструментальных средств разработки ППП и диалоговых систем.

3.4. Программное обесп6ечение аналого-цифровых, графических дисплеев и средств машинной графики

Программное обеспечение векторных, растровых, ЖКИ дисплеев. Классификация и программные средства машинной графики.

3.5. Достоинства и недостатки использования проблемно-ориентированных языков моделирования

Достоинства и недостатки использования проблемно-ориентированных  языков моделирования. Факторы, влияющие на выбор языка. Пакеты и системы дискретного, непрерывного и дискретно-непрерывного моделирования.

IV.Литература

  1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. – М.: Физматлит, 2001.
  2. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. – М.: Эдиториал УРСС, 2002.
  3. Алексеев В.В. и др. Физическое и математическое моделирование экосистем. С.-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992.
  4. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. – М.: ФАЗИС, 2000.
  5. Кундас С.П., Кашко Т.А. Компьютерное моделирование технологических систем.  Учебное пособие в 2 ч. Ч.1 – Мн., БГУИР, 2004. 164 с.
  6. Кундас С.П., Тонконогов Б.А., Кашко Т.А., Гринчик Н.Н. Компьютерное моделирование технологических систем.  Учебное пособие в 2 ч. Ч.2 – Мн., БГУИР, 2004. 192 с.
  7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
  8. Информатика: Учебник/ под ред.Н.В. Макаровой. – М.: Финансы и статистика, 2004.
  9. Гук М. Аппаратные средства IBMPC / Энциклопедия. – Питер, 2000.
  10. Шикан Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения. – М.: Диалог-МИФИ, 1997.
  11. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. – М.: Нолидж, 2001.
  12. Петров М.Н., Молочков В.П. Компьютерная графика. – СПб.: Питер, 2002.
  13. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. – М.: 1998.
  14. Дейт К.Дж. Введение в системы баз данных. 6-е изд. Пер. с англ. – К.; М; СПб.: Вильямс, 1999. – 848 с.
  15. Калан Роберт. Основные концепции нейронных сетей. Пер. с англ. и ред. А.Г. Сивака. – М.: Вильямс, 2003. – 288 с.
  16. Гаскаров Д.В. Интеллектуальные информационные системы. Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 2003. – 431с.
  17. Брукшир Дж. Введение в компьютерные науки. 6-е издание. Пер. с англ. Под общей ред. В.Н. Штонды. – М.: Вильямс, 2001. – 688 с.
  18. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. 7-е издание. Пер. с англ. и ред. А.А. Минько. – М.: Вильямс, 2005. – 912 с.
  19. Прата Стивен. Язык программирования С++. Лекции и упражнения. Platinum Edition. Пер. с англ. /Стивен Прата. – М.: ООО «ДиаСофтЮП», 2005. – 1104 с.
  20. Риккарди Грег. Системы баз данных. Теория и практика использования в Internet и в среде Java / Под общей ред. А.В. Слепцова. Пер. с англ. – М.: Вильямс, 2001. – 480 с.
  21. Боуман Джудит С., Эмерсен Сандра Л., Дарновски М. Практическое руководство по SQL. 4-е издание.: Пер. с англ. – М.: Вильямс, 2001. – 352 с.
  22. Селко Джо. Программирование на SQL для профессионалов. 2-е издание. М.: Лори, 2004.
  23. Кренке Д. Теория и практика построения баз данных. 9-е издание. – СПб.: Питер, 2005. – 859 с.
  24. Бибило П.Н. Основы языка VHDL. - Мн.: Солон-Р, 2000.
  25. Закревский А.Д. Параллельные алгоритмы логического управления. – Мн., 1999.
  26. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергия, 1980.
  27. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. – М.: Мир, 1985.
  28. Страуструп Б. Язык программирования С++. 3-е изд. – М.: БИНОМ, 1999.
  29. Хакен Г. Синергетика (иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах). – М.: Мир, 1985.
  30. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000.
  31. Гермейер Ю.БИгры с непротивоположными интересами. – М.: Наука, 1976.
  32. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990.
  33.  Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1975.
  34.  Сотсков Ю.Н., Струсевич В.А., Танаев В.С. Математические модели и методы календарного планирования: Учебное пособие. – Мн.: Университетское, 1994.